Mathe Brückenkurs 08.10.12
Aussagenlogik
Definition:
Eine Aussage ist ein sprachliches Gebilde, welches wir einem Wahrheitswert zuordnen können.
Beispiele
- Die Tafel ist grün
- Diese Aussage ist nicht falsch
- Diese Aussage ist falsch (Paradox)
- Die Tafel ist schön
- Die Tafel ist gelb
- Können Sie mir eine Frage stellen?
- Hallo
- Mach keine Hausaufgaben
- Sei i=0
- Sei grün eine Farbe
Probleme
- sprachliche Gebilde, die gar kein Satz sind
- paradoxe Sätze
- Definitionen, Fragen, Aufforderungen
- Genauigkeit
Man muss Aussagen berechnen können
- formale Sprache einführen
- kleinste Bausteine definieren
- Regeln des Zusammensetzens
=> gemeinsames Verständnis
weitere Beispiele
- Es müssen mindestens drei Karten abgehoben werden
oder
mindestens drei Karten liegen bleiben.
=> Sinnlose Regel
- "Wenn 1+1=1, dann bin ich und der Papst die selbe Person." (Einstein)
Beweis: Wenn 1+1=1, dann bin ich eine Person und der Papst ist eine Person.
Zusammen sind wir wieder eine Person.
- 15 Cent werden mit 2 Münzen ausgegeben und eine davon ist nicht 10 Cent.
- Wenn eine Dame auf der Vorderseite ist, ist die Rückseite rot:
4 Karten: Bube, Dame, Rot und Blau
=> Zwei Karten müssen zum Überprüfen der Aussage umgedreht werden: Dame und Blau
Formeln
Eine Formel ist entweder
- eine Variable
- 0 (falsche Aussage), 1 (wahre Aussage)
- sind s und t Formeln, dann ist es auch ihre Komposition
- jede endliche Anwendung/ Wiederholung der obigen Punkte
Die Auswertung ist rekursiv über die Teilformen definiert.
"Variablen" oder "Platzhalter" stehen für kleine Aussagen:
x, y, A, Aussage 1, Pferdchen
Beispiel
x = Vorderseite ist eine Dame
y = Rückseite ist rot
"Aus x folgt y."
Notation
Sonderzeichen: ∈, ∉, ≡, ∀, ∃, ∅, ⋂, ⋃, ⋀ , ⋁, ¬, →, ↔
https://de.wikipedia.org/wiki/Unicodeblock_Mathematische_Operatoren
Negation
¬ x "nicht x"
Konjuktion
x ⋀ y "x und y"
Disjuktion
x ⋁ y "x oder y
Implikation
x → y "(aus) x folgt y"
Äquivalenz
x ↔ y "x genau wenn y"
Klammern weglassen
Reihenfolge der Bindungsstärke: ¬, ⋀ , ⋁, →, ↔ (absteigend von links nach rechts)
¬x ⋀ y ⋁ z <=> (((¬x) ⋀ y) ⋁ z)
Außenklammern können weggelassen werden
Definition Tautologie: Eine Aussage ist eine Tautologie, wenn sie bei jeder Belegung der Variable wahr ist.
Definition logische Äquivalenz: Zwei Aussagen "s" und "t" sind logisch äquivalent, wenn sie bei jeder Belegung der Variablen denselben Wahrheitswert haben. Man schreibt dafür s ≡ t.
Definition Kontradiktion:
Ein Aussage, die immer falsch ist nennen wir Kontradiktion.
Wahrheitstafeln
//hier kann sich ja jemand die Mühe machen