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Funktionen (vgl. Script S. 23)
Funktionen sind Tripel (A,B,R) ;R⊆AxB
A Definitionsbereich
B Wertebereich
R Graph von f
Wir schreiben f(a)=b um anzudeuten, dass (a,b)∈R ist
Für R soll gelten
∀ a ∈ A ∃| b ∈ B f(x) = b
oder anders geschrieben (a, b) ∈ R
weitere Notation: q ⟼ f(x)
_____________________
Sei M ⊆ A, so bezeichnet f(M) das Bild von M unter f und ist definiert als die Menge
(1) { x ∈ B | ∃ y ∈ M : f(y) = x }
Für jedes A wird ein B zugeordnet.
f1:
A zu B
1 ∙ zu 3
2 ∙ zu 1
3 ∙ zu 2
4 ∙ zu 5
5 ∙ zu 6
Sei N ⊆ B, so bezeichnet f^-1 (N) das Urbild von N unter der Abbildung / Funktion f und ist definiert als die Menge
(2) { y ∈ A | ∃ x ∈ N : f(y) = x }
f2:
A zu B
1 ∙ zu a
2 ∙ zu e <--\____ deshalb ist sie nicht injektiv (!!!) ⚡ ⚡ ⚡
3 ∙ zu e <--/
4 ∙ zu b
5 ∙ zu f
Eine Funktion f:A → B heißt injektiv, genau dann wenn (g.d.w.)
[ f(a) = f(b) ⇔ a = b ] ∀a,b ∈ A
[ f(a) ≠ f(b) ⇔ a ≠ b ] ∀a,b ∈ A
f1 ist injektiv, weil zwei verschiedene Elemente aus A immer auf zwei verschiedene Elemente von B weisen. f2 ist nicht injektiv, weil f2(2) = f2(3), aber 2 ≠ 3 gilt.
∃a,b∈A: a ≠b => f(a)=f(b) (1)
oder f(a) ≠ f(b) => a = b
Damit eine Funktion nicht injektiv ist muss (1) gelten
Eine Funktion f:A-->B heißt surjektiv genau dann, wenn. (g.d.w.):
∀ b ∈ B ∃ a ∈ A : f(a) = b
alternativ können wir Surjektivität definieren als
f(A) = B
f2 ist nicht surjektiv, weil es kein Element x aus A gibt mit f2(x) = c
f2(A) = {a,b,e,f} ≠ B
f3:
A zu B
1 zu a
2 zu d
3 zu b
4 zu d
5 zu c
6 zu d
f3 ist surjektiv, weil f(A) = B ist. Alternativ sehen wir das jedem Element von B ein Element aus A zugewiesen wird.
Eine Funktion heißt bijektiv,wenn sie injektiv und surjektiv ist.
Wir definieren 2 Mengen A,B als gleichmächtig <=> ∃ f: A -> B welche bijektiv ist.
Verknüpfungen von Abbildungen
Sei f: A-->B und g: B-->C
so ist die Verkettung von g und f definiert als gf: A-->C und der Graph von gf ist definiert als {(x,y)∈AxC|∃b∈B:f(x)=b und g(b)=y}
IdA bezeichnet die Abb.
A-->A mit a⟼a
und wird im Allgemeinen Identität von A genannt.
Sei f:A->B eine inj. Funktion, dann bezeichnet A–¹:f(a)->a die Inversefunktion zu f
ihr Graph ist definiert duch:
f-¹(y)=x <=> f(x)=y
Bsp:
A--f--->B f(x)--f-->A
1 zu a a zu 1
2 zu b b zu 2
3 zu e c zu 4
4 zu c e zu 3
Satz: Sei f:A-->B, g:B-->C dann gilt:
(1) f bijunktiv => f^-1 f =IdA
(2) f injunktiv⇔∃ h: f(A)-->A mit hf=IdA
(3) Ist f injektiv, so existiert (~+)f:A-->f(A) bijektiv mit (~+)f(a)=f(a) ∀a∈A
(4)f,g surjektiv => gf surjektiv
(5) f,g injektiv => gf injektiv
(6) gf surjektiv => g surjektiv, aber f nicht unbedingt
(7) gf injektiv => f inj, g muss nicht unbedingt injektiv sein
Beweis von 6:
⚡Annahme die wir zum Widerspruch führen
g ist nicht surjektiv. (i)
Weiterhin gilt, dass gf surjektiv ist.(ii)
(i) bedeutet g(B)≠C
f(A)⊆B
d.h. g(B)⊂C
Allgemein gilt sei h:E --> F eine Funktion M⊆N⊆E
h(M)⊆h(N)
Was gilt dann für gf(A)
=g(f(A)) f(A)⊆B
⊆(B)⊂C w.zb.w.
Exponential + Logarithmusfunktion
2⁵ = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 (5 mal)
Allgemein sei n ∈ N und a ∈ R(>0) dann schreiben wir a^n für a*a*a*... *a (n mal)
√2 ist die einzige positive reele Zahl, welche mit sich selbst multipliert 2 ergibt (√ * √2 = 2)
Seien n und m irgendwelche natürlichen Zahlen und a∈R+
dann ist (a^n)^m = a(n*m)
Wir schreiben für a mit der Eigenschaft a^n = b : b^(1/n).
Dann gilt für jedes positive Paar a,b ∈ Q+
((x)^a)^b = x^(a*b)
b^0 ist als 1 definiert für alle b∈R+
Sei a>0 dann ist a^n(1/(a^n)) = 1
a^n*a^(-n) = a^(n-n) = a^0
Im Allgemeinen gilt für n,m ∈ N, a ∈ R+
a^n+a^m = a^(n+m)
Wir können also für jede rationale Zahl x∈Q und a ∈ R+ a^x definieren.
a^x definiert also eine injektive funktion von Q->R+
(Im 2. Semester werden sie die Exponentialfunktion definieren um R->R+
Für uns ist die ExponentialFunktion von R->R+ einfach die stetige Fortsetzung von der rationalen Exponentialfunktion, wie im Bild.
Es gelten weiterhin die Gesetze, welche schon für rationale x,y gelten nun für alle reellen Zahlen
Ist die Exponentialfunkion injeektiv? JA
Ist sie surjektiv? JA
Also gibt es eine Inversefunktion die wir Logarithmus nennen
log_ax = y <=> a^y = x
Satz: es gelten folgende identitäten für
1 log_a(xy) = log_a(x)+log_b(y)
2 log_a(1/x) = -log_a(x)
3 log_a((x)^y) = y * log_a(x)
4 log_b(x) = (log_a(x)/(log_a(b))
5 log_a(a) = 1
http://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus#Logarithmengesetze
Beweis (1): a^(log_a(x*y)) = x * y
a^(log_x(x) + log_a(y)) = a^(log_a(x)) + a^(log_a(y)) = x * y
Das die Exponentialfunktion bijektiv ist, gilt auch log_a(xy) = log_a(x) + log_a(y) :)
Beweis (2): log_a(1/x) = -log_a(x)
a^(log_a(1/x)) = 1/x
a^(-log_a(x) = (a^(log_a(x)))^(-1)
= (x)^(-1) = 1 / x
Beweis (3): log_a((x)^y) = y * log_a(x)
a^(log_a(x^y) = x^y
a^y*log_ax = (a^(log_a(x))^y = x^y
Beweis (4): log_b(x) = (log_a(x)/(log_a(b))
b^(1/(log_a(b)) = (a ^(log_a(b))^(1/(log_a(b))) = a^1 = a :)
Beweis (5): log_a(a) = 1
Beispiele:
log_2(4)) = lg2/lg4 = 2
log_2(8)) = 3
log_2(1/4)) = -2
log_4(4)) = 1
log_4(2)) = 2
log_8(4)) = 2/3
log_8(4)=x
<=> 8²=4
8=2³
4=2²
2^(3x)=2²
<=> 3x=2
<=> x=2/3
log_(32) 8
log_(10) hoch wurzel aus 10^^
Gilt 9^(9⁹)>(99⁹⁹) hoch 99?
= 9^81 > 99^(99)
log_35(999) + log_35(1/999) = 0
log_36(39) * log_39(36 = 1
log_12(log_17(17^(12)^5)) = log_12(12)^5 * log_17(17)), ... = 5
Sonderzeichen: ∈, ∉, ≡, ∀, ∃, ∅, ⋂, ⋃, ⋀ , ⋁, ¬, →, ↔, ☇, √, ∤, |, ≥, ≤, ≠, ∪, ⊂, ⊃, ⊆, ⊇, ○, Ā, Ē, Ū, Ō, ⚡, ⟼, ⇔